12 / 16
Из уравнения (20) очевидно, что зависимость
(
z
+
x
2
)
разбивает
плоскость
(
x, z
)
на две области: область 1, где
(
z
+
x
2
)
>
0
, и область 2,
где
(
z
+
x
2
)
≤
0
. Поэтому в области 1 имеем
˙
ϕ
T
<
0
, а в области 2 —
˙
ϕ
T
>
0
(см. рис. 2).
Для функции
u
(
x
) = ˙
g
T
(
x
)
из уравнения (21) имеем следующие ха-
рактерные точки:
u
(
x
)
x
→
0
→ −
4
T <
0
;
u
(
x
=
T
) = 0
,
37
z
2
T
−
1
−
6
T <
0
для объекта со значительной инерционностью, когда постоянная вре-
мени
T >
(0
,
06
z
2
)
1
/
2
;
u
(
x
1
)
x
1
→
+
∞
→ −∞
;
u
(
x
0
)
x
0
→−∞
→ −∞
;
уравнения
u
(
x
)
,
˙
u
(
x
)
не имеют корней при
x
∈
[
x
0
, x
1
]
, поэтому
u
(
x
) = ˙
g
T
(
x
)
<
0
.
Перечисленные свойства относительно функций (18)–(21) показы-
вают, что в области 1
˙
ϕ
T
˙
g
T
>
0
,
˙
ϕ
z
>
0
,
˙
g
z
2
>
0
. Следовательно, в этой
области существует решение
z
BFS
н
(
x
) = (
z
(
x, r
)
, z
(
x, r
)
|
r
∈
[0; 1])
,
(22)
где
z
(
x, r
) =
z
2
e
−
T
−
1
x
−
x
2
−
Tx
−
2
T
2
;
z
(
x, r
) = ˉ
z
2
e
−
T
−
1
x
−
x
2
−
Tx
−
2
T
2
.
В координатах
(
x, z
)
(кривые
M
2
M
3
на рис. 2) для
r
∈
[0; 1]
зависи-
мость
z
BFS
н
(
x
)
представлена совокупностью кривых, равноудаленных
относительно кривой при
r
= 1
.
В области 2
˙
ϕ
T
˙
g
T
<
0
, т.е. условие (3) не выполняется, поэтому
решения
z
BFS
н
(
x
)
не существует, однако есть решение
z
SS
н
(
x
)
, которое
находится из системы уравнений
˙
z
SS
н
(
x
) =
T
−
1
н
z
SS
н
(
x
) +
T
−
1
н
x
2
z
SS
н
(
x
=
x
1
) =
z
3
н
>
0
⇐⇒
˙
z
(
x
) =
T
−
1
z
(
x
) +
T
−
1
x
2
;
˙
z
(
x
) =
T
−
1
z
(
x
) +
T
−
1
x
2
;
z
(
x
) =
z
3
, z
(
x
) =
z
3
,
или в матричной форме в соответствии с уравнением (4) по аналогии
с уравнением (12) имеем
˙
z
SS
н
(
x
) =
Az
SS
н
(
x
) +
Bx
2
, z
SS
н
(
x
=
x
2
) =
z
2
н
,
(23)
где
A
=
T
−
1
0
0 ˉ
T
−
1
;
B
= (
T
−
1
, T
−
1
)
т
;
z
SS
н
= (
z,
ˉ
z
)
т
;
˙
z
н
(
x
)=( ˙
z,
˙ˉ
z
)
т
.
Решение матричного уравнения (23), полученное на этапе 2, бу-
дет иметь вид, аналогичный выражению (14) (в области 2 показано
совокупностью кривых
M
2
M
3
, см. рис. 2).
Этап 3
(кривые
M
3
M
4
на рис. 2). Происходит очередное пере-
ключение ИМ, в левой части уравнения (9) по аналогии с этапом 1
будет знак “
+
”, далее появится этап 4 (со знаком “
−
”) и т.д.
На этапе 1, когда ИМ увеличивает вход
x
(
t
)
объекта управле-
ния (знак “
+
”), переходной процесс описывается совокупностью
S
-
кривых. На этапе 2, когда ЭР переключает ИМ (знак “
−
”), тогда пере-
ходной процесс содержит
BS
- и
S
-кривые. На этапе 3 снова происхо-
дит переключение ИМ (знак “
+
”) и переходной процесс описывается
70 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1