6 / 16
которую принято называть слабое нечеткое число. Возникновение та-
ких чисел связано с различными нелинейными преобразованиями над
сильными числами при решении нечетких систем линейных алгебра-
ических уравнений, нелинейных дифференциальных уравнений и т.д.
Нечеткое одиночное число
z
н
возникает при необходимости пред-
ставления четкого числа в нечетких терминах. Тогда функция
r
(
z
)
равна
r
(
z
) = (
r
(
z
) =
r
(
z
)
|
r
∈
[0; 1])
⇔
r
−
1
(
z
) = (
z
(
r
) =
z
(
r
)
|
r
∈
[0; 1])
.
Нечеткое отображение
y
н
(
x
)
устанавливает соотношение между
нечеткой областью
x
н
и нечеткой областью
y
н
с функцией принадлеж-
ностей
r
y
(
x
)
:
X
⊃
x
н
r
y
(
x
)
−→
y
н
∈
Y
н
, где
x
н
и
y
н
— нечеткие вектора.
Банахово пространство нечетких переменных [9] вводится в соот-
ветствии с подходом, принятым в работе [12]. Для этого в совокупно-
сти
{
x
i
н
}
задаются операции:
1) сложения ( + )
x
i
н
и
y
i
н
в виде
x
i
н
+
y
i
н
= (
x
i
(
r
) +
xj
(
r
)
, x
i
(
r
) +
+
x
j
(
r
)
|
r
∈
[0; 1])
;
2) умножения (
×
)
x
i
н
на скаляр
k
∈
R
i
по правилу
k
×
x
i
н
=
(
(
k
+
x
i
(
r
)
, k
+
x
i
(
r
)
|
r
∈
[0; 1])
, k
≥
0
,
(
k
+
x
i
(
r
)
, k
+
x
i
(
r
)
∈
[0; 1])
, k <
0
|
;
3) существования у числа
x
i
н
обратного элемента
x
k
н
=
x
i
н
+
+
x
k
н
≡
0
⇔
r
k
(
x
) =
r
i
(
−
x
)
.
Относительно операций сложения и умножения выполняются ак-
сиомы: коммутативность и ассоциативность для операции сложе-
ния; дистрибутивность для операции умножения. Поэтому совокуп-
ность
{
x
i
н
}
с существованием обратного элемента образует вектор-
ное пространство
X
н
, в котором определим матрицу
S
(
x
i
н
, x
j
н
) =
= sup
r
{
max[
|
x
i
(
r
)
−
x
j
(
r
)
|
,
|
x
i
(
r
)
−
x
j
(
r
)
|
]
и норму
k
x
i
н
−
x
j
н
k
=
=
S
(
x
i
н
, x
j
н
)
, а также нечеткую последовательность Коши
{
x
n
н
}
:
S
(
x
n
н
, x
m
н
}
n,m
→∞
→
0
и полноту
X
н
:
x
n
н
n
→∞
→
x
н
,
x
н
∈
X
н
.
В результате получим банахово пространство нечетких перемен-
ных
(
X
н
, S
)
. Задавая различным способом матрицу
S
, например, спо-
собом Хаусдорфа, Хакахары и другими, можно получить множество
X
н
различной структуры.
Нечеткая производная
определяется путем нахождения для некото-
рой нечеткой переменной операций вычитания ( – ), умножения на кон-
станту (
×
), предельного перехода ( lim ). В зависимости от способа их
задания используются следующие нечеткие производные: Гойтшела –
Воксмана (Goestshel – Voxman, GV)
˙
y
GV
=
н
(
x
)
; Сейккалы
˙
y
S
н
(
x
)
; Дюбуа –
Праде (Dubois – Prade, DP)
˙
y
DP
н
(
x
)
; Пури – Ралеску (Puri – Rolescu, PR)
˙
y
PR
н
(
x
)
; Кэндела – Фридмана –Минго (Kandel – Friedman –Ming, KFM)
˙
y
KFM
н
(
x
)
. Справедливо утверждение: если переменные производные
64 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1