Рис. 7. График зависимости
M
ξ
от числа процессоров
n
Дифференцируя выражение (9) как
сложную функцию в нуле, получаем
M
ξ
=
−
φ
(0) =
V
n
1
μ
D
−
nλ
D
+
1
μ
MP
,
1
μ
MP
=
μ
M
+
μ
P
(2 +
P
F
)
μ
M
μ
P
.
(18)
С помощью формул(16) и (17) мож-
но записать выражения для
M
ξ
2
и
σ
2
ξ
.
График зависимости математиче-
ского ожидания
M
ξ
времени выполне-
ния запроса от числа процессоров
n
в
параллельной системе баз данных показан на рис. 7.
Координаты точек, обозначенных на рис. 7 (
n
∗
— точка минимума),
вычисляются по формулам:
y
1
=
M
ξ
(1) =
V
(
1
μ
D
−
λ
D
+
1
μ
MP
);
(19)
n
∗
=
μ
D
λ
D
−
μ
MP
λ
D
μ
D
μ
MP
+ 1
−
1 ;
(20)
y
∗
=
M
ξ
(
n
∗
) =
V
n
∗
1
μ
D
−
n
∗
λ
D
+
1
μ
MP
.
(21)
Из уравнения (20) следует, что при возрастании
μ
MP
значение
n
∗
убывает. Используя правило Лопиталя, запишем
lim
μ
MP
→∞
n
∗
=
μ
D
2
λ
D
.
(22)
Можно показать, что производная
n
∗
по
P
F
больше нуля. Поэтому
значение
n
∗
возрастает с увеличением
P
F
(
0
P
F
1
).
Поведение функции
M
ξ
(
n
)
(см. рис. 7) объясняется тем, что снача-
ла с ростом числа процессоров время убывает благодаря распаралле-
ливанию обработки запроса, затем время возрастает из-за перегрузки
подсистемы ввода/вывода.
Метод выбора архитектуры системы.
Используя сведения, при-
веденные в табл. 1 и 2, а также формулы (9)–(17), можно получить
математические ожидания и дисперсии времени выполнения запро-
са к БД для всех архитектур, представленных на рис. 4. С помощью
этих выражений можно выполнить сравнение архитектур по стоимо-
сти с учетом ограничения на время выполнения запроса или смеси
запросов.
Для каждой
i
-й архитектуры необходимо решить задачу оптими-
зации:
C
i
(
n
)
−→
n
min
88 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 4
