9 / 15
но привести формулу, полученную в работе [10] для эффективного
значения магнитной проницаемости и представленную в монографии
[13] без упоминания о формуле Максвелла. Соотношение (22) может
быть преобразовано к виду, соответствующему формуле, полученной
в работе [14] и представленной в работе [15].
Оценка методом самосогласования.
Особенность подхода к
оценке диэлектрической проницаемости композита методом само-
согласования состоит в учете взаимодействия элементов структуры
неоднородного материала с однородной средой, имеющей искомое
значение
ε
◦
. Последующее приравнивание нулю осредненных по объ-
ему композита возмущений распределения параметров в элементах
структуры позволяет получить расчетные зависимости для величины
ε
◦
. Определим в шаровом включении и в шаровой частице матрицы
композита возмущения поля электрического потенциала относитель-
но невозмущенного поля в однородном материале, которое описывает
введенная выше функция
U
∞
(
r, θ
) =
−
E
0
r
cos
θ
, зависящая только
от координаты
r
cos
θ
, направленной по оси, от которой происходит
отсчет угла
θ
в сферической системе координат.
Матрицу композита представим состоящей из шаровых частиц пе-
ременного радиуса, убывающего от некоторого конечного значения
до бесконечно малого, что обеспечивает заполнение всех промежут-
ков между шаровыми включениями. В сплошной шаровой частице
матрицы, центр которой совпадает с началом сферической системы
координат, распределение электрического потенциала, удовлетворяю-
щее уравнению (15), описывает функция
U
0
m
(
r, θ
) =
−
A
0
m
r
cos
θ
, а
возмущенное поле этого потенциала в однородном материале — функ-
ция
U
0
(
r, θ
) =
−
(
E
0
r
+
B
0
/r
2
) cos
θ
. Два неизвестных коэффициента
A
0
m
и
B
0
должны удовлетворять сформулированным выше условиям
непрерывности электрического потенциала и радиальной составляю-
щей вектора электрического смещения на сферической поверхности
частицы матрицы. В итоге получим
A
0
m
= 3
ε
◦
E
0
/
(2
ε
◦
+
ε
m
)
и
Δ
U
m
(
r, θ
) =
U
0
m
(
r, θ
)
−
U
∞
(
r, θ
) =
ε
m
−
ε
◦
2
ε
◦
+
ε
m
E
0
r
cos
θ.
(23)
Аналогичным путем находим возмущение поля электрического потен-
циала в шаровом включении, принимающее вид
Δ
U
◦
(
r, θ
) =
ε
◦
−
ε
◦
2
ε
◦
+
ε
◦
E
0
r
cos
θ.
(24)
Согласно формулам (23) и (24), и в шаровых частицах матрицы,
и в шаровых включениях возмущение поля электрического потенциа-
ла линейно зависит от координаты
r
cos
θ
, от которой также линейно
зависит и невозмущенное распределение
U
∞
(
r, θ
)
этого потенциала
в однородном материале с искомым значением
ε
◦
. Поэтому векторы
58 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3