5 / 9
Управление по выходу спектром больших динамических систем
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 4
69
следующие матрицы существуют и попарно полностью наблюдаемы:
,
,
N
N N N N N N N N
G B C B A C H B C
,
,
k
k
k k
k
k
k
k k
G B C B A C H B C
1
1
1 1
1
1
1
1 1
,
,
G B C B A C H B C
0
0
0 0
0
0
0
0 0
,
,
G B C B A C H B C
тогда
существует непустое множество матриц
,
i
L
0,
i
N
таких, что
T
T
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
G H B C B AC B C
L
L
и при
,
N
M M
M M
M
F B C
A C
T
1
,
,
k
k k
k k
k
k
k
k
k
F B C A C C C C F
T
1
1 1 1 1
1
2
1
1
1
,
,
F B C A C C C C F
T
0
0 0
0 0
0
1
0
0
0
,
F B C A C C C C F
выполняются равенства
eig
eig( ),
N N N N
N
A B F C
1
eig
eig( ),
M
k
k k k
i
i k
A B F C
1 1 1 1
1
eig
eig( ),
M
i
i
A B F C
1
0 0 0 0
1
eig
eig
eig( ),
N
i
i
A B F C
A BFC
где
1
1
eig( ) .
N
i
i
Как и в [5], в предложенном решении используются при преобразованиях
только полуортогональные и псевдообратные матрицы, что, по крайней мере, не
ухудшает обусловленность уравнений. Подход не содержит ограничений в виде
различия алгебраической и геометрической кратности элементов назначаемого
спектра, а также ограничений на размерность решаемой задач. Это подтвержда-
ется математическим моделированием, которое показало высокую относитель-
ную точность управления спектром и практическое отсутствие ограничений на
размерность системы (1). В качестве примера на рис.
2 приведен исходный
спектр большой системы (1) с матрицами
randn( ),
randn( , ),
randn( , ),
n
n r
m n
A
B
C
где
1800,
n
/ 2,
r n
/ 2,
m r r
randn( , )
v w
—
матрица размера
,
v w
эле-
менты которой распределены по псевдослучайному закону с нулевым средним,
а на рис. 3 — ошибки формирования заданного спектра, все 1800 элементов
которого в данном случае равны минус единице, т.
е. кратность элементов спек-
тра
{ 1, 1, ..., 1}
равна размерности пространства состояний.