4 / 12
S
1
и
S
2
. Для параллелепипеда обозначим верхнюю плоскую поверх-
ность
S
1
1
и оставшуюся часть поверхности
S
2
1
, так что
S
1
=
S
1
1
∪
S
2
1
.
Для пирамиды часть поверхности
S
2
, вошедшую в контакт, обозначим
как
S
1
2
, поверхность нижнего основания —
S
3
2
, а оставшуюся часть
поверхности обозначим
S
2
2
, так что
S
2
=
S
1
2
∪
S
2
2
∪
S
3
2
.
На поверхность
S
1
1
действует внешнее давление
P
. Перейдем к ин-
дексным обозначениям осей декартовой системы координат, заменив
x, y, z
на
x
1
, x
2
, x
3
. Используется квазистационарная постановка, т.е.
деформирование происходит в изотермическом режиме и не зависит
от скорости нагружения. Применяются теория течения и аддитивный
подход к формированию приращений деформаций. Математическая
модель представляет собой уравнения равновесия, обобщенный закон
Гука, закон течения, соотношения Коши, критерий текучести Мизеса,
соотношение для расчета контактных давлений дополненного метода
Лагранжа на контактной поверхности с граничными условиями:
σ
ij,j
= 0;
(1)
ε
ij
=
1 +
ν
E
σ
ij
−
ν
E
δ
ij
σ
kk
;
(2)
dε
P
ij
=
s
ij
dλ
;
(3)
ε
ij
=
1
2
(
u
i,j
+
u
j,i
) ;
(4)
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+ (
σ
2
−
σ
3
)
2
+ (
σ
3
−
σ
1
)
2
= 2Φ
ε
P
2
;
(5)
p
(
x
i
) =
Kδ
+
λ, x
i
∈
S
1
2
;
(6)
σ
33
=
P, x
3
∈
S
1
1
;
u
1
(
x
2
) = 0
, u
2
(
x
1
) = 0;
x
1
, x
2
∈
S
2
1
;
(7)
u
i
(
x
i
) = 0
, x
i
∈
S
3
2
,
где
σ
ij
и
ε
ij
— декартовы компоненты тензоров напряжений и дефор-
маций;
ν
— коэффициент Пуассона;
E
— модуль Юнга;
δ
ij
— символ
Кронекера;
s
ij
— девиатор текущих напряжений;
dλ, λ
— множители
Лагранжа;
u
i
— компоненты вектора перемещений;
σ
1
, σ
2
, σ
3
— глав-
ные напряжения;
Φ
ε
P
— задаваемая функция кривой упрочнения
материала;
p
— контактное давление;
K
— контактная жесткость;
δ
—
величина зазора;
σ
33
— компоненты тензора напряжений.
Контактными элементами программного комплекса ANSYS ти-
па CONTA174 покрыты поверхности
S
1
2
и
S
2
2
, а элементами типа
TARGE170 нижняя поверхность пластины. Пирамида разбивалась на
гексаэдральные конечные элементы равномерно по высоте (рис. 1,
a
).
82 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 2