столбцы матрицы
F
. Тогда столбцы матриц
F
2
,
F
3
. . . соответственно выра-
жаются следующим образом:
(
s
0
+
s
1
) (
s
1
+
s
2
) (
s
2
+
s
3
) (
s
3
+
s
4
)
. . .
(
s
0
+
s
k
)
,
(
s
0
+ 2
s
1
+
s
2
) (
s
1
+ 2
s
2
+
s
3
) (
s
2
+ 2
s
3
+
s
4
)
. . .
(
s
1
+ 2
s
0
+
s
k
)
,
(
s
0
+ 3
s
1
+ 3
s
2
+
s
3
) (
s
1
+ 3
s
2
+ 3
s
3
+
s
4
)
. . .
(
s
2
+ 3
s
0
+ 3
s
1
+
s
k
)
,
(
s
0
+ 4
s
1
+ 6
s
2
+ 4
s
3
+
s
4
)
. . .
(
s
3
+ 4
s
0
+ 6
s
1
+ 4
s
2
+
s
k
)
и т.д.
Отметим, что возможны две типовые ситуации линейной зависимости
между четырьмя столбцами с участием следующих элементов (соответству-
ющие элементы выделены жирным):
s
0
;
s
1
;
s
2
; (
s
0
+ 2
s
1
+
s
2
)
и
s
0
;
s
3
; (
s
1
+
s
2
) ; (
s
0
+ 3 (
s
2
+
s
3
) +
s
3
)
.
Каждая типовая ситуация встречается
(
k
+ 1)
×
(
k
+ 1)
раз при после-
довательном перемещении по строкам и столбцам ввиду симметричности
применяемых операций. Таким образом, общее число линейно-зависимых
столбцов, а следовательно, и число линейно зависимых уравнений составля-
ет
Δ
теор
= 2 (
k
+ 1)
2
.
Видно, что экспериментальное
Δ
всегда больше теоретического (см.
табл. 1). Это связано с тем, что при выводе теоретического числа не учиты-
вались приведения по модулю. Они как раз и увеличивают число линейно-
зависимых уравнений.
Построение последовательностей большего размера, многомерные
матрицы S и T.
Чтобы увеличить общее число элементов
N
, распростра-
ним преобразование (1) на случай трехмерных массивов.
Сначала строится квадратная матрица
S
[0]
:
(
k
+ 1)
×
(
k
+ 1)
описанным
способом построения матриц, с помощью отображения Ньютона, затем до-
страиваются
k
слоев квадратных матриц следующим образом:
S
[
i
] [
j
] [
w
] =
S
[
i
−
1] [
j
] [
w
]
•
S
[
i
−
1] [
j
+ 1] [
w
]
,
1
≤
i
≤
k,
0
≤
j
≤
k
−
1; 0
≤
w
≤
k
;
S
[
i
] [
k
] [
w
] =
S
[
i
−
1] [0] [
w
]
•
S
[
i
−
1] [
k
] [
w
]
,
1
≤
i
≤
k,
0
≤
w
≤
k.
Оценим, как и в случае квадратной матрицы, верхнюю границу числа раз-
личных решений, которые можно получить, решая уравнения, составленные
из всевозможных пар элементов с разными коэффициентами при
x
:
max =
N
(
N
−
1)
2
−
k
(
k
+ 1)
2
(
k
+ 1)
2
=
N k
3
k
6
−
k
4
N
2
.
Верхняя граница снова определяется как
N
2
,
N
— число элементов в
массиве. Результаты экспериментов с трехмерными массивами представлены
в табл. 2.
86 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
